Конформационные переходы в ДНК: статистико-механическое описание
Статистико-механическое описание конформационного перехода - описание конформационных переходов между различными формами ДНК методами статистической физики. В используемых моделях полагается, что каждая пара оснований может находиться лишь в одном из нескольких состояний. Эти состояния пар объединяют, в действительности, множество микросостояний, соответствующих различным конформационным и колебательным характеристикам пары (в особенности это относится к клубкообразному или раскрытому состоянию), а также различным ее взаимодействиям с молекулами растворителя. По существу, все микросостояния разбиваются на группы, и существенной оказывается лишь принадлежность пары к той или иной группе микросостояний. При таком подходе нельзя, естественно, претендовать на слишком подробное описание рассматриваемой системы, но благодаря этому описание получается достаточно простым. Важно, что микросостояния объединяются в такие группы, которые могут быть легко различимы физическими методами и, следовательно, предсказания теоретического анализа могут непосредственно проверяться в эксперименте.
В качестве примера рассмотрим линейную молекулу ДНК, состоящую из N пар оснований, каждое звено которой может находиться в одном из двух состояний, 1 или 2, которые отвечают двум формам ДНК. Вся молекула может находиться в этом случае в одном из 2N состояний. Поскольку равновесие между этими состояниями определяется лишь разностью свободных энергий между ними, будем отсчитывать свободную энергию от свободной энергии молекулы, все звенья которой находятся в состоянии 1. Важнейшим параметром, определяющим равновесие в рассматриваемой цепочке, является изменение свободной энергии i-го звена D Fi при переходе его из состояния 1 в состояние 2. Говоря более строго, величина D Fi соответствует процессу, в котором при переходе i-го звена не меняется число границ между участками, звенья которых находятся в разных состояниях ( Рис. Процесс увеличения расплавленной области на одно звено ). Константу равновесия этого процесса, равную
exp(-D Fi/RT), принято обозначать через si или роi в зависимости от того, какая форма выбирается за уровень отсчета свободной энергии. Величины D Fc зависят от типа i-й пары, т.е. в общем случае различны для AT- и GC-пар. В ряде случаев следует учитывать зависимость D Fi и от типа соседних пар. Кроме того, значенияD Fi зависят от внешних условий в растворе (температура, состав растворителя и т.д.). Эта зависимость и приводит к сдвигу равновесия между формами.
Вторым параметром является свободная энергия Fj, связанная с образованием границы между участками, звенья которых находятся в разных состояниях. Образование границы или стыка разных форм в любом заданном месте цепочки всегда связано с увеличением свободной энергии, т.е. величина F всегда положительна. Обычно предполагается, что в интервале перехода между двумя формами ДНК величина Fj,не меняется. Кроме того, полагается, что значение Fj, не зависит от типа пар оснований, образующих стык. Эти допущения вполне правомерны, так как равновесие между состояниями 1 и 2 почти не сдвигается при небольших изменениях значения Fj. Однако сам факт, что образование стыка двух состояний ведет к увеличению свободной энергии цепочки, оказывает очень существенное влияние на переход. Именно этот факт обеспечивает кооперативность конформационного перехода. Величина, равная exp(-2Fj/RT), называется фактором кооперативности . Через эти два параметра, D Fj и Fj, можно выразить свободную энергию любого состояния рассматриваемой молекулы (в рамках этой простейшей модели).
Статистико-механическое описание рассматриваемой системы осуществляется стандартным образом, путем вычисления полной статистической суммы Z по всем 2N состояниям:
Формула 15 Сумма по i в этом выражении соответствует суммированию по всем звеньям в состоянии 2, а через rk обозначено число участков из звеньев в состоянии 2. Слагаемое в статсумме, отвечающее определенному состоянию цепи, называется его статистическим весом .
Через статсумму можно выразить любые статистические характеристики молекулы. Основой всех получаемых при этом соотношений является тот фундаментальный факт, что вероятность нахождения системы в i-м состоянии равна отношению статистического веса этого состояния к полной статсумме. Исходя из этого, вероятность нахождения i-го звена цепи в состоянии 2, pi , равна отношению суммы статистических весов состояний, в которых i-е звено находится в состоянии 2, к полной статсумме. Это отношение можно представить в виде:
Формула 16 . Соответственно, среднее число звеньев в состоянии 2, pi, определяется соотношением
Формула 17 . Таким образом, если известны параметры D Fj и Fj, и то, как меняются D Fi при изменении внешних условий, можно с помощью формул (15), (16), (17) получить полное описание рассматриваемого конформационного перехода. В общем случае нерегулярной последовательности пар оснований в ДНК расчеты могут быть выполнены лишь с применением ЭВМ. При этом, как правило, расчеты основываются не на прямом переборе всех состояний цепи, а на значительно более эффективных алгоритмах, с математической точки зрения совершенно эквивалентных формулам (15), (16), (17). В ряде случаев, однако, расчеты могут быть значительно упрощены, если можно заранее указать набор основных состояний молекулы в рассматриваемой области внешних условий. Так, если имеется выделенный, однородный по последовательности оснований короткий участок, в котором рассматриваемый переход должен происходить значительно раньше, чем в других частях молекулы, для приближенного описания такого локального перехода оказывается возможным использовать модель, в которой учитываются лишь два возможных состояния этого участка и молекулы в целом (когда все звенья участка находятся в состояни 1 и когда все звенья участка находятся в состоянии 2). В этом случае все статистические характеристики перехода легко могут быть представлены в конечном виде ( Кантор Ч. и Шиммел П., 1984 ).
В случае кольцевых ДНК статистическая сумма должна включать все состояния молекулы, которые имеют сравнимую свободную энергию с учетом энергии сверхспирализации . Иногда проще провести суммирование по всем состояниям или некоторой их группе, чем анализировать, какие состояния следует, а какие не следует учитывать.
