Персистентная модель

Персистентная модель - модель, в которой полимерная цепь аппроксимируется упругой однородной гладкой нитью. Персистентная цепь является предельным случаем цепи с корреляцией в направлении соседних звеньев, состоящей из N одинаковых звеньев длины l, в которой направление i-го звена не слишком отклоняется от направления (i-1)-го. Для цепи с корреляцией направления соседних звеньев средний квадрат расстояния между концами

Формула 29 (1). ПустьQi - угол между направлениями i-го и (i+1)-го звена. Тогда 

_ _ 2## = l (2).

 Поскольку цепь считается однородной по всей длине, # не зависит от i. Введем обозначение # = a .Можно показать (см., например, Кантор Ч. и Шиммел П., 1984 ), что с учетом аксиальной симметрии отклонений направлений соседних звеньев

 _ _ k## = a (3).

Соотношение (3) позволяет провести до конца суммирование в выражении (1). Это дает

Формула 32 (4). Будем считать, что величина # (1-a) очень близка к 0, т.е. среднее значение угла #тета(i) очень мало. Такая цепь называется персистентной или червеобразной Бреслер С.Е. и Френкель Я.И., 1939 и Kratky O. and Porod G., 1949 . Параметр a, который называется персистентной длиной , вводится следующим образом:

## a = exp (-1/a) (5).

 Это позволяет преобразовать (4) к виду:

2

< r > = 2La [1 - (a/L)*(1 - exp(-L/a))] (6), 

где через L обозначена контурная длина цепи (L= Nl). Формула (6) описывает зависимость среднего квадрата расстояния между концами для персистентной модели от параметров цепи a и L.

Чтобы найти соответствие между свободно-сочлененной и персистентной моделями, заметим, что при L гораздо больше a формула (6) дает

2

< r > = 2La (7).

2 Это соотношение совпадает с определением для свободно-сочлененной цепи если положить

 l0 = 2a (8). 

Соотношение (8) устанавливает связь между персистентной длиной цепи и ее статистическим сегментом . Однако для сравнительно коротких цепей, длина которых не превышает нескольких a, свойства персистентной цепи существенно отличаются от свойств свободно-сочлененной модели. Так при L гораздо меньше a из формулы

2 2 (6) следует, что (r) = L , т.е. конформации цепи мало отличаются от прямолинейных.

Персистентная длина может быть также определена на основании соотношения

_ N _ < [(li/l)* S li] > (9)

i=1 при N стремящемся к бесконечности. Левая часть (9) соответствует среднему значению проекции вектора, соединяющего концы цепи, на направление ее первого звена. Персистентная длина отвечает, таким образом, характерному размеру цепи, на котором еще сохраняется корреляция между направлениями элементарных звеньев.

Персистентная цепь оказывается очень хорошим приближением для описания конформаций молекул ДНК в растворе. Это связано с тем, что двойная спираль ДНК является очень жесткой полимерной молекулой и средний угол между направлениями соседних звеньев (отвечающих отдельным парам оснований) не превышает в ней нескольких градусов.

Соотношение (5) дает возможность связать микроскопическую характеристику жесткости, (cos Q), с макроскопической, т.е. с размером статистического сегмента. Значение (cos Q) можно вычислить для любой микроскопической модели изгибов соседних звеньев в ДНК.

Ссылки: