Райзинг
Райзинг, Wr - разность между порядком зацепления Lk краев полосы и ее кручением Tw . Величина Wr выражается через интеграл Гаусса, в котором интегрирование оба раза ведется по одному и тому же контуру - оси полосы С
Формула 20 . Величина Wr не зависит от ориентации полосы относительно ее оси, а определяется только пространственным ходом этой оси, т.е. является характеристикой замкнутой кривой. Эта характеристика получила название райзинга кривой от английского слова writhe, что значит корчиться, скрючиваться.
Райзинг обладает следующими свойствами: 1. В отличие от классического интеграла Гаусса для двух контуров, который может принимать лишь целочисленные значения, райзинг кривой может иметь любую величину. Он непрерывно меняется при деформации кривой, осуществляемой без пересечений сегментов. Райзинг кривой не меняется при изменении ее масштаба, а зависит только от формы кривой. 2. Как следует из формулы (20), величина райзинга равна нулю для кривых, обладающих центром или плоскостью симметрии. В частности, он равен нулю для любой плоской кривой. Можно сказать, что райзинг служит мерой асимметрии кривой в отношении правого и левого, т.е. мерой ее хиральности. 3. Рассмотрим райзинг почти плоской кривой, имеющей форму восьмерки ( Рис. Почти плоская фигура типа восьмерки ). Будем считать, что в области, обведенной пунктиром на рисунке, участки контура подходят очень близко друг к другу (в масштабе размеров всей кривой), но не пересекаются. В этой области кривая слегка выходит из "своей" плоскости. Райзинг такой кривой равен -1, если петля является фрагментом правой спирали (этот случай изображен на рисунке), и +1, если скрещивание отвечает левой спирали. Этот результат не зависит от формы и размеров петель восьмерки при условии, что они не выходят из плоскости, и от угла между участками кривой в области скрещивания. Он следует непосредственно из определения райзинга (20).
Из этого результата вытекает еще одно важное свойство райзинга, справедливое не только для "почти плоской", но и для произвольной кривой. При деформации кривой, сопровождающейся прохождением одной ее части сквозь другую, райзинг испытывает скачок на 2. Это свойство райзинга было использовано при анализе механизма действия топоизомераз .
Рассмотрим райзинг полосы, которая плотно прилегает к поверхности цилиндра и ось которой описывает винтовую линию ( Рис. Полоса, образующая левую спираль ). Пусть R- число оборотов, которое делает ось полосы вокруг оси цилиндра, p - шаг спирали, а r - радиус цилиндра. В этом случае
Lk = R (21). Кручение такой полосы можно вычислить непосредственно:
Формула 22 . Райзинг этой полосы проще всего найти на основании соотношения (20). Из формул (20), (21), (22) следует, что в рассматриваемом случае
Формула 23 . Формула (23) является общей для всех полос, оси которых образуют винтовую линию с шагом p, радиусом r и числом оборотов R. Это не относится к формулам (21) - (22), справедливым только для сугубо частного случая полосы, плотно прилегающей к поверхности цилиндра. Одной и той же конфигурации оси полосы, т.е. одному и тому же значению Wr , может соответствовать множество полос, имеющих различные значения Tw и соответственно Lk .
Из формулы (23) следует, что райзинг винтовой линии уменьшается при увеличении отношения p/r , т.е. при вытягивании спирали вдоль оси. Совершенно иначе ведет себя двуспиральная винтовая линия при вытягивании вдоль оси. Намотанная на цилиндр полоса, ось которой отвечает такой линии, изображена на Рис. Полоса, образующая двойную левую спираль . Подсчитать райзинг этой линии можно, воспользовавшись соотношениями (20) и (22). Нетрудно убедиться, что для полосы, плотно прилегающей к поверхности цилиндра, порядок зацепления в этом случае равен 0. Кручение полосы можно определить с помощью той же формулы (22), учтя, что изображенная на Рис. Полоса, образующая левую спираль полоса делает вдвое больше оборотов, чем полоса, представленная на Рис. Полоса, образующая двойную левую спираль . Следовательно райзинг в этом случае определяется соотношением
Формула 24 . R в данном случае соответствует числу витков спирали, приходящихся на половину замкнутой полосы. Из (24) следует, что при увеличении отношения p/r абсолютная величина райзинга двуспиральной винтовой линии растет, т.е. при вытягивании райзинг двойной спирали не уменьшается, как для одинарной спирали, а увеличивается. Кроме того, для левой (правой) одинарной и двойной спиралей знаки райзинга оказываются противоположными (для правой двойной спирали райзинг отрицателен).
